aya_chan_meip’s blog

アクチュアリー資格試験の第1次試験には「会計・経済・投資理論」という科目があり，「投資理論」分野では2資産ポートフォリオのリスクとリターンに関する問題が出題されることがある。
この記事では，「接点ポートフォリオ」について説明する。

2 個のリスク資産 X, Y からなるポートフォリオの期待リターンと標準偏差を考える。
資産X, Y のリターンをそれぞれ確率変数 $R_X$ , $R_Y$ で表す。
$R_X$ の期待値を $\mu_X$ , 標準偏差を $\sigma_X$ とする。
$R_Y$ の期待値を $\mu_Y$ , 標準偏差を $\sigma_Y$ とする。
$R_X$ と $R_Y$ の相関係数，共分散をそれぞれ $\rho_{XY}$ , $\sigma_{XY} = \rho_{XY} \sigma_X \sigma_Y$ とする。
2 個のリスク資産からできる投資可能領域は（ $\mu_X \neq \mu_Y$ かつ $|\rho_{XY}| \lt 1$ のとき）双曲線で表される。
安全資産のリターン（リスクフリー・レート）を定数 $r_{\mathrm{f}}$ で表す。

接点ポートフォリオ安全資産を示す y 軸（期待リターン）上の点からリスク資産 X, Y だけに投資する場合の投資可能集合（双曲線）に接線を引き，その接点に相当するポートフォリオを接点ポートフォリオ T と呼ぶことにする。
接点ポートフォリオのリターンは，資産 X への投資比率を $w_T$ とすると，
$R_T = w_T R_X + (1-w_T) R_Y$
で与えられる。
ここで，
$w_T = \frac{(\mu_X -r_{\mathrm{f}}) ({\sigma_{Y}}^2 -\sigma_{XY}) + (\mu_X -\mu_Y) \sigma_{XY}}{(\mu_X -r_{\mathrm{f}}) ({\sigma_{Y}}^2 -\sigma_{XY})} + (\mu_Y -r_{\mathrm{f}}) ({\sigma_X}^2 -\sigma_{XY}) \$
である。
従って，接点ポートフォリオの期待リターン $\mu_T$ は，
$\mu_T = w_T \mu_X + (1-w_T) \mu_Y = \frac{(\mu_X -r_{\mathrm{f}}) (\mu_X {\sigma_Y}^2 -\mu_Y \sigma_{XY}) + (\mu_Y -r_{\mathrm{f}}) (\mu_Y {\sigma_X}^2 -\mu_X \sigma_{XY})}{(\mu_X -r_{\mathrm{f}}) ({\sigma_Y}^2 -\sigma_{XY}) + (\mu_Y -r_{\mathrm{f}}) ({\sigma_X}^2 -\sigma_{XY})} \$
となる。

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証明

資産 X, Y への投資比率をそれぞれ $w$ , $1-w$ とすると，ポートフォリオの期待リターンは $\mu = w \mu_X + (1-w) \mu_Y$ , 分散は $\sigma^2 = w^2 {\sigma_X}^2 + (1-w)^2 {\sigma_Y}^2 + 2 w (1-w) \sigma_{XY}$ である。
期待リターンの式を投資比率 $w$ について解き，分散の式に代入すると，
$\sigma^2 = \left( \frac{\mu-\mu_Y}{\mu_X-\mu_Y} \right)^2 {\sigma_X}^2 + \left( \frac{\mu_X-\mu}{\mu_X-\mu_Y} \right)^2 {\sigma_Y}^2 + 2 \frac{\mu-\mu_Y}{\mu_X-\mu_Y} \frac{\mu_X-\mu}{\mu_X-\mu_Y} \sigma_{XY}$
となる。（これを整理すると双曲線の方程式 $\sigma^2 / a^2 - (\mu -\mu_{\mathrm{MV}})^2 / b^2 = 1$ になる。 $a$ , $b$ は定数。 $\mu_{\mathrm{MV}}$ は最小分散ポートフォリオの期待リターン。）
両辺を $\mu$ で微分すれば双曲線の接線の傾きが得られる。
接線（の傾き）が接点T $(\sigma_T, \mu_T)$ と安全資産 $(0, r_{\mathrm{f}})$ を通る直線（の傾き）と一致することから上記の結果が得られる。